• образователни: научете учениците да намират площта на многоъгълник, използвайки методите, които са избрали, формират първоначални представяния
• многоъгълни, графични и измервателни умения;
• развитие: разработване на методи за умствена дейност на учениците при изпълнение на задачи от наблюдение, изчисления до изясняване на моделите за изчисляване на площта на многоъгълник;
• възпитание: разкриване на субективния опит на учениците, насърчаване на действия, стремежи на учениците като основа за възпитание на положителни личностни черти;
• методически: създаване на условия за проява на познавателна активност на учениците.

Оборудване на урока:

1. Дизайн на бяла дъска: отляво - многоъгълни форми, отдясно - празно платно на дъската за писане в урока, в центъра - многоъгълник-правоъгълник.
2. Листовка "За изследване".
3. Инструменти на учителя и учениците (тебешир, показалка, линийка, изследователски лист, фигури, хартия за рисуване, маркер).

Метод на урока:

• За взаимодействието на учителя и учениците – диалог-комуникация;
• Според метода на решаване на задачи – частично-търсени;
• Според начина на умствена дейност - (SUD) развиващо обучение.

Формата на урока е фронтална, по двойки, индивидуална.

Типът урок е урок за овладяване на нови знания, умения и способности.

Структурата на урока е постепенно задълбочаване в темата, гъвкава, диалогична.

По време на часовете

Поздравления.

Урокът е красив и носи радост, когато мислим и работим заедно. Днес ще разгледаме фигурите, ще определим имената им, ще мислим, търсим и намираме решения. Пожелаваме си успешна работа.

Актуализация на знанията.

Разгледайте фигурите (многоъгълници на дъската).

Всички са заедно. Защо? Каква е общата им черта? (Многоъгълници).

Назовете този многоъгълник (5-ъгълник, 6-ъгълник...)

Знаете ли каква е площта на многоъгълник?

След това покажете на една от фигурите.

(Обобщение от учителя: площта е част от равнина вътре в затворена геометрична фигура.)

На руски тази дума има няколко значения.

(Ученикът в речника въвежда значенията.)

1. Част от равнина вътре в затворена геометрична фигура.
2. Голяма незастроена и равна площ.
3. Място за всякакви цели.

Коя стойност се използва в математиката?

В математиката се използва първата стойност.

(На дъската има фигура).

Многоъгълник ли е? да

Наименувайте формата по различен начин. Правоъгълник.

Покажи дължина, ширина.

Как да намерите площта на многоъгълник?

Напишете формулата с помощта на букви и символи.

Ако дължината на нашия правоъгълник е 20 cm, ширината е 10 cm. Каква е площта?

Площта е 200 cm 2

Помислете как да прикрепите линийка, така че фигурата да е разделена на:

Видяхте ли от какви части се състои фигурата? И сега, напротив, ще съберем цялото на части.

(Части от фигурата лежат на бюрата. Децата сглобяват правоъгълник от тях).

Направете изводи от вашите наблюдения.

Цялата фигура може да се раздели на части и от части да се направи едно цяло.

Къщите, базирани на триъгълници и четириъгълници, бяха фигури, силуети. Ето какви се оказаха.

(Демонстрация на рисунки, направени от учениците у дома. Една от работите се анализира).

Какви фигури използвахте? Имате сложен многоъгълник.

Постановка на учебната задача.

В урока трябва да отговорим на въпроса: как да намерим площта на сложен многоъгълник?

Защо човек трябва да намери района?

(Отговори на деца и обобщение от учителя).

Задачата за определяне на площта възникна от практиката.

(Показва се планът на училищния сайт.)

За да построят училище, те първо създадоха план. Тогава територията беше разделена на участъци от определена площ, бяха поставени сгради, цветни лехи, стадион. В този случай сайтът има определена форма - формата на многоъгълник.

Решението на образователния проблем.

(Моделите се раздават за изследване.)

Пред вас има фигура. Назовете я.

Многоъгълник, шестоъгълник.

Намерете площта на многоъгълника. Какво трябва да се направи за това?

Разделете на правоъгълници.

(В случай на затруднение ще има друг въпрос: „От какви фигури се състои многоъгълникът?“).

От два правоъгълника.

Разделете формата на правоъгълници с помощта на линийка и молив. Обозначете числата 1 и 2 на получените части.

Да направим измервания.

Намерете площта на първата фигура.

(Учениците предлагат следните решения и ги записват на дъската.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 см 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 см 2

Знаейки площта на частите, как да намерите площта на цялата фигура?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Сравнете резултатите и направете заключение.

Да следваме нашите стъпки

Как се намира площта на многоъгълник?

Съставя се алгоритъм и се записва на плаката:?

1. Разделете фигурата на части

2. Намерете площите на частите на тези многоъгълници (S 1, S 2).

3. Намерете площта на целия многоъгълник (S 1 + S 2).

Изговорете алгоритъма.

(Няколко ученика произнасят алгоритъма).

Открихме два начина, а може би има още?

И можете да завършите фигурата.

Колко правоъгълника получихте?

Нека обозначим части 1 и 2. Нека направим измервания.

Намерете площта на всяка част от многоъгълника.

• S1=6? 5=30 см 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Как да намерим площта на нашия шестоъгълник?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 cm 2

Нека създадем алгоритъм:

Завършете фигурата до правоъгълник

Намерени S 1 и S 2 .

Открихме разликата S 1 - S 2.

Сравнете два алгоритъма. Направете заключение. Кои действия са еднакви? Къде се различават нашите действия?

Затворете очи, наведете глави. Повторете мислено алгоритъма.

Направихме изследователска работа, разгледахме различни методи и сега можем да намерим площта на всеки многоъгълник.

Проверка на производителността.

Тествай се.

Ето многоъгълниците.

Намерете площта на една фигура по избор, докато можете да използвате различни методи.

Работата се извършва самостоятелно. Децата избират фигура. Намерете областта по един от начините. Проверката е ключът на дъската.

Какво може да се каже за формата? (Различна форма)

Каква е площта на тези многоъгълници? (Площите на тези многоъгълници са равни)

Оценете резултатите.

Който е прав - сложи "+".

Кой има съмнения, трудности - "?"

Консултантите помагат на момчетата, търсят грешки, помагат да ги коригират.

Домашна работа:

Съставете вашите изследователски листове, изчислете площта на многоъгълник по различни начини.

Обобщение на урока.

И така, момчета, какво ще кажете на родителите си за това как да намерят площта на геометрична фигура - многоъгълник.

Конвертор на единици за разстояние и дължина Конвертор на единици за площ Присъединете се © 2011-2017 Михаил Довжик Копирането на материали е забранено. В онлайн калкулатора можете да използвате стойности в едни и същи мерни единици! Ако имате проблеми с преобразуването на мерни единици, използвайте конвертора на единици за разстояние и дължина и конвертора на единици за площ. Допълнителни функции на калкулатора за площ на четириъгълника

• Можете да се придвижвате между полетата за въвеждане, като натискате десния и левия бутон на клавиатурата.

Теория. Площ на четириъгълника Четириъгълникът е геометрична фигура, състояща се от четири точки (върхове), нито три от които не лежат на една права линия, и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Четириъгълник се нарича изпъкнал, ако сегментът, свързващ всеки две точки от този четириъгълник, ще бъде вътре в него.

Как да намерите площта на многоъгълник?

Формулата за определяне на площта се определя, като се вземе всеки ръб на многоъгълника AB и се изчисли площта на триъгълника ABO с връх в началото O, чрез координатите на върховете. При обхождане на многоъгълник се образуват триъгълници, включващи вътрешността на многоъгълника и разположени извън него. Разликата между сбора на тези площи е площта на самия полигон.

Следователно формулата се нарича формула на геодезиста, тъй като "картографът" е в началото; ако обикаля областта обратно на часовниковата стрелка, площта се добавя, ако е отляво и се изважда, ако е отдясно по отношение на произхода. Формулата за площ е валидна за всеки непресичащ се (прост) многоъгълник, който може да бъде изпъкнал или вдлъбнат. Съдържание

• 1 Определение
• 2 Примери
• 3 По-сложен пример
• 4 Обяснение на името
• 5 Вижте

Област на полигона

внимание

Може да е:

• триъгълник;
• четириъгълник;
• пет- или шестоъгълник и така нататък.

Такава фигура със сигурност ще се характеризира с две позиции:

1. Съседните страни не принадлежат на една и съща права.
2. Несъседните нямат общи точки, тоест не се пресичат.

За да разберете кои върхове са съседни, трябва да видите дали принадлежат на една и съща страна. Ако да, тогава съседни. В противен случай те могат да бъдат свързани с сегмент, който трябва да се нарече диагонал. Те могат да бъдат начертани само в многоъгълници, които имат повече от три върха.

Какви видове съществуват? Многоъгълник с повече от четири ъгъла може да бъде изпъкнал или вдлъбнат. Разликата на последния е, че някои от неговите върхове могат да лежат от различни страни на права линия, прекарана през произволна страна на многоъгълника.

Как да намерите площта на правилен и неправилен шестоъгълник?

• Знаейки дължината на страната, умножете я по 6 и получете периметъра на шестоъгълника: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Заместете резултатите в нашата формула:
Площ \u003d 1/2 * периметър * апотема Площ \u003d ½ * 60cm * 5√3 Решете: Сега остава да опростите отговора, за да се отървете от квадратни корени, и да посочите резултата в квадратни сантиметри: ½ * 60 cm * 5 √3 cm = 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Видео за това как да намерите площта на правилен шестоъгълник Има няколко опции за определяне на площта на неправилен шестоъгълник:

• трапецовиден метод.
• Метод за изчисляване на площта на неправилни многоъгълници с помощта на координатната ос.
• Метод за разделяне на шестоъгълник на други форми.

В зависимост от първоначалните данни, които ще знаете, се избира подходящият метод.

важно

Някои неправилни шестоъгълници се състоят от два успоредника. За да определите площта на успоредник, умножете дължината му по ширината и след това добавете двете вече известни области. Видео за това как да намерите площта на многоъгълник. Равностранен шестоъгълник има шест равни страни и е правилен шестоъгълник.

Площта на равностранен шестоъгълник е равна на 6 области на триъгълниците, на които е разделена правилна шестоъгълна фигура. Всички триъгълници в правилен шестоъгълник са равни, така че за да намерите площта на такъв шестоъгълник, ще бъде достатъчно да знаете площта на поне един триъгълник. За да се намери площта на равностранен шестоъгълник, разбира се, се използва формулата за площта на правилен шестоъгълник, описана по-горе.

404 Страницата не е намерена

Украсата на дома, облеклото, рисуването на картини допринасят за процеса на формиране и натрупване на информация в областта на геометрията, която хората от онези времена получават емпирично, малко по малко и предават от поколение на поколение. Днес знанията по геометрия са необходими на резача, строителя, архитекта и всеки обикновен човек в ежедневието. Следователно трябва да се научите как да изчислявате площта на различни фигури и не забравяйте, че всяка от формулите може да бъде полезна по-късно на практика, включително формулата за правилен шестоъгълник.
Шестоъгълникът е такава многоъгълна фигура, чийто общ брой ъгли е шест. Правилният шестоъгълник е шестоъгълна фигура, която има равни страни. Ъглите на правилния шестоъгълник също са равни един на друг.
В ежедневието често можем да срещнем предмети, които имат формата на правилен шестоъгълник.

Калкулатор за площ на неправилен многоъгълник по страни

Ще имаш нужда

• - рулетка;
• — електронен далекомер;
• - лист хартия и молив;
• - калкулатор.

Инструкция 1 Ако имате нужда от общата площ на апартамент или отделна стая, просто прочетете техническия паспорт на апартамента или къщата, той показва кадрите на всяка стая и общия кадър на апартамента. 2 За да измерите площта на правоъгълна или квадратна стая, вземете рулетка или електронен далекомер и измерете дължината на стените. Когато измервате разстояния с далекомер, не забравяйте да запазите посоката на лъча перпендикулярна, в противен случай резултатите от измерването могат да бъдат изкривени. 3 След това умножете получената дължина (в метри) на помещението по ширината (в метри). Получената стойност ще бъде площта на пода, тя се измерва в квадратни метри.

Формула за площ на Гаус

Ако трябва да изчислите площта на пода на по-сложна структура, като петоъгълна стая или стая с кръгла арка, начертайте схематична скица върху лист хартия. След това разделете сложната форма на няколко прости, като квадрат и триъгълник или правоъгълник и полукръг. Използвайте ролетка или далекомер, за да измерите размера на всички страни на получените фигури (за кръг трябва да знаете диаметъра) и въведете резултатите на чертежа си.

5 Сега изчислете площта на всяка форма поотделно. Площта на правоъгълниците и квадратите се изчислява чрез умножаване на страните. За да изчислите площта на кръг, разделете диаметъра наполовина и квадрат (умножете го по себе си), след което умножете резултата по 3,14.
Ако искате само половината от кръга, разделете получената площ наполовина. За да изчислите площта на триъгълник, намерете P, като разделите сумата от всички страни на 2.

Формула за изчисляване на площта на неправилен многоъгълник

Ако точките са номерирани последователно в посока обратна на часовниковата стрелка, тогава детерминантите във формулата по-горе са положителни и модулът в нея може да бъде пропуснат; ако са номерирани по посока на часовниковата стрелка, детерминантите ще бъдат отрицателни. Това е така, защото формулата може да се разглежда като специален случай на теоремата на Грийн. За да приложите формулата, трябва да знаете координатите на върховете на многоъгълника в декартовата равнина.

Например, нека вземем триъгълник с координати ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Вземете първата x-координата на първия връх и я умножете по y-координатата на втория връх и след това умножете x-координатата на втория връх по y-координатата на третия. Повтаряме тази процедура за всички върхове. Резултатът може да се определи по следната формула: А три.

Формулата за изчисляване на площта на неправилен четириъгълник

A) _(\текст(три.))=(1 \над 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|), където xi и yi означават съответната координата. Тази формула може да бъде получена чрез отваряне на скобите в общата формула за случая n = 3. Използвайки тази формула, можете да откриете, че площта на триъгълник е равна на половината от сумата от 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, което дава 3. Броят на променливите във формулата зависи от броя на страните на многоъгълника. Например, формулата за площта на петоъгълник ще използва променливи до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \над 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5) )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A за четворка - променливи до x4 и y4: Четворка.

• образователни: научете учениците да намират площта на многоъгълник, използвайки методите, които са избрали, формират първоначални представяния
• многоъгълни, графични и измервателни умения;
• развитие: разработване на методи за умствена дейност на учениците при изпълнение на задачи от наблюдение, изчисления до изясняване на моделите за изчисляване на площта на многоъгълник;
• възпитание: разкриване на субективния опит на учениците, насърчаване на действия, стремежи на учениците като основа за възпитание на положителни личностни черти;
• методически: създаване на условия за проява на познавателна активност на учениците.

Оборудване на урока:

1. Дизайн на бяла дъска: отляво - многоъгълни форми, отдясно - празно платно на дъската за писане в урока, в центъра - многоъгълник-правоъгълник.
2. Листовка "За изследване".
3. Инструменти на учителя и учениците (тебешир, показалка, линийка, изследователски лист, фигури, хартия за рисуване, маркер).

Метод на урока:

• За взаимодействието на учителя и учениците – диалог-комуникация;
• Според метода на решаване на задачи – частично-търсени;
• Според начина на умствена дейност - (SUD) развиващо обучение.

Формата на урока е фронтална, по двойки, индивидуална.

Типът урок е урок за овладяване на нови знания, умения и способности.

Структурата на урока е постепенно задълбочаване в темата, гъвкава, диалогична.

По време на часовете

Поздравления.

Урокът е красив и носи радост, когато мислим и работим заедно. Днес ще разгледаме фигурите, ще определим имената им, ще мислим, търсим и намираме решения. Пожелаваме си успешна работа.

Актуализация на знанията.

Разгледайте фигурите (многоъгълници на дъската).

Всички са заедно. Защо? Каква е общата им черта? (Многоъгълници).

Назовете този многоъгълник (5-ъгълник, 6-ъгълник...)

Знаете ли каква е площта на многоъгълник?

След това покажете на една от фигурите.

(Обобщение от учителя: площта е част от равнина вътре в затворена геометрична фигура.)

На руски тази дума има няколко значения.

(Ученикът в речника въвежда значенията.)

1. Част от равнина вътре в затворена геометрична фигура.
2. Голяма незастроена и равна площ.
3. Място за всякакви цели.

Коя стойност се използва в математиката?

В математиката се използва първата стойност.

(На дъската има фигура).

Многоъгълник ли е? да

Наименувайте формата по различен начин. Правоъгълник.

Покажи дължина, ширина.

Как да намерите площта на многоъгълник?

Напишете формулата с помощта на букви и символи.

Ако дължината на нашия правоъгълник е 20 cm, ширината е 10 cm. Каква е площта?

Площта е 200 cm 2

Помислете как да прикрепите линийка, така че фигурата да е разделена на:

Видяхте ли от какви части се състои фигурата? И сега, напротив, ще съберем цялото на части.

(Части от фигурата лежат на бюрата. Децата сглобяват правоъгълник от тях).

Направете изводи от вашите наблюдения.

Цялата фигура може да се раздели на части и от части да се направи едно цяло.

Къщите, базирани на триъгълници и четириъгълници, бяха фигури, силуети. Ето какви се оказаха.

(Демонстрация на рисунки, направени от учениците у дома. Една от работите се анализира).

Какви фигури използвахте? Имате сложен многоъгълник.

Постановка на учебната задача.

В урока трябва да отговорим на въпроса: как да намерим площта на сложен многоъгълник?

Защо човек трябва да намери района?

(Отговори на деца и обобщение от учителя).

Задачата за определяне на площта възникна от практиката.

(Показва се планът на училищния сайт.)

За да построят училище, те първо създадоха план. Тогава територията беше разделена на участъци от определена площ, бяха поставени сгради, цветни лехи, стадион. В този случай сайтът има определена форма - формата на многоъгълник.

Решението на образователния проблем.

(Моделите се раздават за изследване.)

Пред вас има фигура. Назовете я.

Многоъгълник, шестоъгълник.

Намерете площта на многоъгълника. Какво трябва да се направи за това?

Разделете на правоъгълници.

(В случай на затруднение ще има друг въпрос: „От какви фигури се състои многоъгълникът?“).

От два правоъгълника.

Разделете формата на правоъгълници с помощта на линийка и молив. Обозначете числата 1 и 2 на получените части.

Да направим измервания.

Намерете площта на първата фигура.

(Учениците предлагат следните решения и ги записват на дъската.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 см 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 см 2

Знаейки площта на частите, как да намерите площта на цялата фигура?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Сравнете резултатите и направете заключение.

Да следваме нашите стъпки

Как се намира площта на многоъгълник?

Съставя се алгоритъм и се записва на плаката:?

1. Разделете фигурата на части

2. Намерете площите на частите на тези многоъгълници (S 1, S 2).

3. Намерете площта на целия многоъгълник (S 1 + S 2).

Изговорете алгоритъма.

(Няколко ученика произнасят алгоритъма).

Открихме два начина, а може би има още?

И можете да завършите фигурата.

Колко правоъгълника получихте?

Нека обозначим части 1 и 2. Нека направим измервания.

Намерете площта на всяка част от многоъгълника.

• S1=6? 5=30 см 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Как да намерим площта на нашия шестоъгълник?

S \u003d 30 - 15 \u003d 15 cm 2

Нека създадем алгоритъм:

Завършете фигурата до правоъгълник

Намерени S 1 и S 2 .

Открихме разликата S 1 - S 2.

Сравнете два алгоритъма. Направете заключение. Кои действия са еднакви? Къде се различават нашите действия?

Затворете очи, наведете глави. Повторете мислено алгоритъма.

Направихме изследователска работа, разгледахме различни методи и сега можем да намерим площта на всеки многоъгълник.

Проверка на производителността.

Тествай се.

Ето многоъгълниците.

Намерете площта на една фигура по избор, докато можете да използвате различни методи.

Работата се извършва самостоятелно. Децата избират фигура. Намерете областта по един от начините. Проверката е ключът на дъската.

Какво може да се каже за формата? (Различна форма)

Каква е площта на тези многоъгълници? (Площите на тези многоъгълници са равни)

Оценете резултатите.

Който е прав - сложи "+".

Кой има съмнения, трудности - "?"

Консултантите помагат на момчетата, търсят грешки, помагат да ги коригират.

Домашна работа:

Съставете вашите изследователски листове, изчислете площта на многоъгълник по различни начини.

Обобщение на урока.

И така, момчета, какво ще кажете на родителите си за това как да намерят площта на геометрична фигура - многоъгълник.

Урок от поредицата " Геометрични алгоритми»

Здравей скъпи читателю.

Решаването на много задачи на изчислителната геометрия се основава на намирането област на полигона. В този урок ще изведем формула за изчисляване на площта на многоъгълник, използвайки координатите на неговите върхове, и ще напишем функция за изчисляване на тази площ.

Задача. Изчислете площта на многоъгълник, дадена от координатите на нейните върхове, по посока на часовниковата стрелка.

Информация от изчислителната геометрия

За да изведем формулата за площта на многоъгълник, имаме нужда от информация от изчислителната геометрия, а именно концепцията за ориентирана площ на триъгълник.

Ориентираната област на триъгълник е обичайната зона, снабдена със знак. Знак за ориентирана площ на триъгълник ABCсъщият като ориентирания ъгъл между векторите и. Тоест неговият знак зависи от реда, в който са изброени върховете.

На ориз. 1 триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник. Неговата ориентирана площ е (тя е по-голяма от нула, тъй като двойката е положително ориентирана). Същата стойност може да се изчисли по друг начин.

Позволявам Ое произволна точка от равнината. В нашата фигура площта на триъгълника ABC се получава чрез изваждане на площите на OAB и OCA от площта на триъгълника OBC. По този начин, просто трябва добавяне на ориентирани областитриъгълници OAB, OBC и OCA. Това правило работи за всеки избор на точка О.

По същия начин, за да изчислите площта на всеки многоъгълник, трябва да добавите ориентираните площи на триъгълниците

Сумата ще бъде площта на многоъгълника, взета със знак плюс, ако многоъгълникът е отляво, когато обикаля многоъгълника (заобикаляйки границата обратно на часовниковата стрелка), и със знак минус, ако е отдясно (заобикаляйки по часовниковата стрелка ).

И така, изчисляването на площта на многоъгълник беше намалено до намиране на площта на триъгълник. Нека видим как да го изразим в координати.

Напречното произведение на два вектора в равнина е площта на успоредника, изграден върху тези вектори.

Векторното произведение, изразено чрез координатите на векторите:

Ако координатите на върховете са дадени в ред, обратен на часовниковата стрелка, тогава числото С,изчислено по тази формула ще бъде положително. В противен случай тя ще бъде отрицателна и за да получим обичайната геометрична площ, трябва да вземем нейната абсолютна стойност.

Така че, помислете за програма за намиране на площта на многоъгълник, дадена от координатите на върховете.

3. Ако един многоъгълник е съставен от няколко многоъгълника, тогава неговата площ е равна на сумата от площите на тези многоъгълници.

4. Площта на квадрат със страна \(a\) е \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Площ на правоъгълник и успоредник)))\]

Теорема: площ на правоъгълник

Площта на правоъгълник със страни \(a\) и \(b\) е \(S=ab\) .

Доказателство

Нека построим правоъгълника \(ABCD\) до квадрат със страна \(a+b\), както е показано на фигурата:

Този квадрат се състои от правоъгълник \(ABCD\) , друг правоъгълник, равен на него, и два квадрата със страни \(a\) и \(b\) . По този начин,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \лява дясна стрелка\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \дясна стрелка S_(\text(pr-k) )=ab \end(multline*)\)

Определение

Височината на успоредник е перпендикулярът, изтеглен от върха на успоредника към страната (или продължението на страната), която не съдържа този връх.
Например, височината \(BK\) пада върху страната \(AD\) , а височината \(BH\) пада върху продължението на страната \(CD\) :

Теорема: площ на успоредник

Площта на успоредник е равна на произведението на височината и страната, към която е начертана тази височина.

Доказателство

Начертайте перпендикуляри \(AB"\) и \(DC"\), както е показано на фигурата. Забележете, че тези перпендикуляри са равни на височината на успоредника \(ABCD\) .

Тогава \(AB"C"D\) е правоъгълник, следователно \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Обърнете внимание, че правоъгълните триъгълници \(ABB"\) и \(DCC"\) са равни. По този начин,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Площ на триъгълник)))\]

Определение

Ще наричаме страната, към която е начертана надморската височина в триъгълника, основа на триъгълника.

Теорема

Площта на триъгълник е половината от произведението на неговата основа и височината, начертана към тази основа.

Доказателство

Нека \(S\) е лицето на триъгълника \(ABC\) . Нека вземем страната \(AB\) като основа на триъгълника и да начертаем височината \(CH\) . Нека докажем, че \ Нека построим триъгълника \(ABC\) към успоредника \(ABDC\), както е показано на фигурата:

Триъгълниците \(ABC\) и \(DCB\) са равни по три страни (\(BC\) е тяхната обща страна, \(AB = CD\) и \(AC = BD\) като противоположни страни на успоредника \ (ABDC\ )), така че повърхнините им са равни. Следователно площта \(S\) на триъгълника \(ABC\) е равна на половината от площта на успоредника \(ABDC\) , т.е. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Теорема

Ако два триъгълника \(\триъгълник ABC\) и \(\триъгълник A_1B_1C_1\) имат равни височини, тогава техните площи са свързани като основите, към които са начертани тези височини.

Последица

Медианата на триъгълник го разделя на два триъгълника с еднаква площ.

Теорема

Ако два триъгълника \(\триъгълник ABC\) и \(\триъгълник A_2B_2C_2\) имат един и същ ъгъл, тогава техните площи са свързани като произведенията на страните, образуващи този ъгъл.

Доказателство

Нека \(\ъгъл A=\ъгъл A_2\) . Нека комбинираме тези ъгли, както е показано на фигурата (точката \(A\) е подравнена с точката \(A_2\)):

Начертайте височини \(BH\) и \(C_2K\) .

Триъгълниците \(AB_2C_2\) и \(ABC_2\) имат еднаква височина \(C_2K\), следователно: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Триъгълниците \(ABC_2\) и \(ABC\) имат еднаква височина \(BH\), следователно: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Умножавайки последните две равенства, получаваме: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( или ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Питагорова теорема

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите:

Обратното също е вярно: ако в триъгълник квадратът на дължината на едната страна е равен на сумата от квадратите на дължините на другите две страни, то такъв триъгълник е правоъгълен.

Теорема

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката.

Теорема: Формула на Херон

Нека \(p\) е полупериметърът на триъгълник, \(a\) , \(b\) , \(c\) са дължините на неговите страни, тогава неговата площ е равна на \

\[(\Large(\text(Площ на ромб и трапец)))\]

Коментирайте

защото ромбът е успоредник, то за него е вярна същата формула, т.е. Площта на ромба е равна на произведението на височината и страната, към която е начертана тази височина.

Теорема

Площта на изпъкнал четириъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни, е половината от произведението на диагоналите.

Доказателство

Да разгледаме четириъгълника \(ABCD\) . Означаваме \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Обърнете внимание, че този четириъгълник е съставен от четири правоъгълни триъгълника, следователно неговата площ е равна на сумата от площите на тези триъгълници:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multline*)\)

Следствие: площ на ромб

Площта на ромба е половината от произведението на неговите диагонали:

Определение

Височината на трапец е перпендикуляр, прекаран от върха на едната основа към другата основа.

Теорема: площ на трапец

Площта на трапец е половината от сбора на основите, умножен по височината.

Доказателство

Да разгледаме трапец \(ABCD\) с основи \(BC\) и \(AD\) . Начертайте \(CD"\паралелен AB\), както е показано на фигурата:

Тогава \(ABCD"\) е успоредник.

Начертаваме също \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) са височините на трапеца).

Тогава \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

защото трапецът се състои от успоредник \(ABCD"\) и триъгълник \(CDD"\), тогава неговата площ е равна на сумата от площите на успоредника и триъгълника, тоест:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Всеки, който е учил математика и геометрия в училище, познава тези науки поне повърхностно. Но с времето, ако не се практикуват, знанието се забравя. Мнозина дори вярват, че просто са си загубили времето в изучаване на геометрични изчисления. Те обаче грешат. Техническите работници извършват ежедневна работа, свързана с геометрични изчисления. Що се отнася до изчисляването на площта на многоъгълник, това знание също намира приложение в живота. Те ще са необходими поне за изчисляване на площта на земята. Така че нека се научим как да намираме площта на многоъгълник.

Определение на многоъгълник

Първо, нека дефинираме какво е многоъгълник. Това е плоска геометрична фигура, която се е образувала в резултат на пресичането на три или повече линии. Друго просто определение: многоъгълникът е затворена полилиния. Естествено, в пресечната точка на линиите се образуват пресечни точки, техният брой е равен на броя на линиите, които образуват многоъгълник. Точките на пресичане се наричат ​​върхове, а сегментите, образувани от правите линии, се наричат ​​страни на многоъгълника. Съседните сегменти на многоъгълник не са на една и съща права линия. Отсечките, които не са съседни, са тези, които не минават през общи точки.

Сумата от площите на триъгълниците

Как да намерите площта на многоъгълник? Площта на многоъгълника е вътрешната част на равнината, която е образувана в пресечната точка на сегментите или страните на многоъгълника. Тъй като многоъгълникът е комбинация от форми като триъгълник, ромб, квадрат, трапец, просто няма универсална формула за изчисляване на неговата площ. На практика най-универсалният метод е разделянето на многоъгълник на по-прости фигури, чиято площ не е трудно да се намери. Като съберем сумите от площите на тези прости фигури, получаваме площта на многоъгълника.

През зоната на кръга

В повечето случаи многоъгълникът има правилна форма и образува фигура с равни страни и ъгли между тях. Изчисляването на площта в този случай е много лесно с помощта на вписана или описана окръжност. Ако площта на кръга е известна, тогава тя трябва да се умножи по периметъра на многоъгълника и след това полученият продукт да се раздели на 2. В резултат на това се получава формулата за изчисляване на площта на такъв многоъгълник : S = ½∙P∙r., където P е площта на кръга, а r е периметърът на многоъгълника.

Методът за разделяне на многоъгълник на „удобни“ форми е най-популярен в геометрията, той ви позволява бързо и правилно да намерите площта на многоъгълник. В 4-ти клас на гимназията обикновено се учат такива методи.

Площ, една от основните величини, свързани с геометричните фигури. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, тоест квадрати със страна, равна на една дължина. Изчисляването на П. е вече в древността ... ...

Този термин има други значения, вижте Площ (значения). Площта на плоска фигура е добавъчна числена характеристика на фигура, която принадлежи изцяло на една равнина. В най-простия случай, когато фигурата може да бъде разделена на крайни ... ... Wikipedia

Площта I е една от основните величини, свързани с геометричните фигури. В най-простите случаи се измерва с броя на единичните квадрати, запълващи плоска фигура, тоест квадрати със страна, равна на една дължина. Изчисление P. ... ... Велика съветска енциклопедия

Този термин има други значения, вижте Площ (значения). Единица за площ L² SI единици m² ... Wikipedia

G. 1. Част от земната повърхност, пространство, естествено ограничено или специално предназначено за някаква цел. отт. Водно пространство. отт. Голямо, равно място, простор. 2. Равно незастроено обществено пространство ... ... Съвременен тълковен речник на руския език ефремова

Тази статия се предлага за изтриване. Обяснение на причините и съответната дискусия можете да намерите на страницата на Уикипедия: За изтриване / 2 септември 2012 г. Докато процесът на обсъждане не е завършен, статията може да бъде подобрена, но трябва да бъде ... ... Wikipedia

Две фигури в R2 с равни площи и, съответно, два многоъгълника M1 и M 2, така че да могат да бъдат нарязани на многоъгълници, така че частите, които съставляват M 1, да са съответно равни на частите, които съставляват M 2. За еднаква площ ..... Математическа енциклопедия

B=7, G=8, B + G/2 − 1= 10 Теоремата на Пик е класически резултат от комбинаторната геометрия и геометрията на числата. Площ на многоъгълник с цяло число ... Wikipedia

Този термин има и други значения, вижте теоремата на Пик. V = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Формулата на Пик (или теоремата на Пик) е класически резултат от комбинаторната геометрия и геометрията на числата. Квадрат ... Уикипедия

Област (свързано отворено множество) на границата на изпъкнало тяло в евклидовото пространство E 3. Цялата граница на изпъкнало тяло се нарича. пълна V. p. Ако тялото е ограничено, тогава пълна V. p. затворен. Ако тялото е безкрайно, тогава пълната V. p. безкраен... ... Математическа енциклопедия

Многоъгълникът е плоска или изпъкнала фигура, която се състои от пресечени линии (повече от 3) и образува голям брой пресечни точки на линии. Друг многоъгълник може да се определи като прекъсната линия, която се затваря. По друг начин пресечните точки могат да се нарекат върхове на фигурата. В зависимост от броя на върховете фигурата може да се нарече петоъгълник, шестоъгълник и т.н. Ъгълът на многоъгълник е ъгълът, образуван от страните, събиращи се в един връх. Ъгълът е вътре в многоъгълника. Освен това ъглите могат да бъдат различни, до 180 градуса. Има и външни ъгли, които обикновено са съседни вътрешни ъгли.

Правите линии, които впоследствие се пресичат, се наричат ​​страни на многоъгълника. Те могат да бъдат съседни, съседни или несъседни. Много важна характеристика на представената геометрична фигура е, че нейните несъседни страни не се пресичат и следователно нямат общи точки. Съседните страни на фигура не могат да бъдат на една и съща права линия.

Тези върхове на фигурата, които принадлежат на една и съща линия, могат да бъдат наречени съседни. Ако начертаете линия между два върха, които не са съседни, ще получите диагонала на многоъгълника. Що се отнася до площта на фигурата, това е вътрешната част на равнината на геометрична фигура с голям брой върхове, която се създава от сегментите на многоъгълника, който я разделя.

Няма едно единствено решение за определяне на площта на представената геометрична фигура, тъй като може да има безкраен брой варианти на фигурата и за всеки вариант има собствено решение. Въпреки това, някои от най-често срещаните опции за намиране на площта на фигурата все още трябва да бъдат разгледани (те най-често се използват на практика и дори са включени в училищната програма).

Първо, помислете за правилен многоъгълник, тоест такава фигура, в която всички ъгли, образувани от равни страни, също са равни. И така, как да намерите площта на многоъгълник в конкретен пример? В този случай намирането на площта на многоъгълна фигура е възможно, ако е даден радиусът на окръжност, вписана във фигурата или описана около нея. За да направите това, можете да използвате следната формула:

S = ½∙P∙r, където r е радиусът на окръжност (вписана или описана), а P е периметърът на геометрична многоъгълна фигура, който може да се намери чрез умножаване на броя на страните на фигурата по тяхната дължина.

Как да намерите площта на многоъгълник

За да отговорите на въпроса как да намерите площта на многоъгълник, достатъчно е да проследите следното интересно свойство на многоъгълна фигура, което някога е било открито от известния австрийски математик Георг Пик. Например, използвайки формулата S = N + M/2 -1, можете да намерите площта на такъв многоъгълник, чиито върхове са разположени във възлите на квадратна мрежа. В този случай S е съответно площта; N - броят на възлите на квадратната мрежа, които са разположени вътре във фигурата с много ъгли; M е броят на тези възли на квадратната мрежа, които са разположени на върховете и страните на многоъгълника. Но въпреки красотата си, формулата на Пик практически не се използва в практическата геометрия.

Най-простият и известен метод за определяне на площта, който се изучава в училище, е разделянето на многоъгълна геометрична фигура на по-прости части (трапец, правоъгълник, триъгълник). Намирането на площта на тези фигури не е трудно. В този случай площта на многоъгълника се определя просто: трябва да намерите площите на всички онези фигури, на които е разделен многоъгълникът.

По принцип дефиницията на площта на многоъгълник се определя в механиката (размери на части).

1.1 Изчисляване на площите в древността

1.2 Различни подходи към изучаването на понятията "площ", "многоъгълник", "площ на многоъгълник"

1.2.1 Концепцията за площ. Площ имоти

1.2.2 Концепцията за многоъгълник

1.2.3 Концепцията за площта на многоъгълник. Описателна дефиниция

1.3 Различни формули за площите на многоъгълници

1.4 Извеждане на формули за площ на многоъгълник

1.4.1 Площ на триъгълник. Формулата на Херон

1.4.2 Площ на правоъгълник

1.4.3 Площ на трапец

1.4.4 Площ на четириъгълник

1.4.5 Универсална формула

1.4.6 Площ на n-ъгълник

1.4.7 Изчисляване на площта на многоъгълник от координатите на неговите върхове

1.4.8 Формула за избор

1.5 Питагоровата теорема за сумата от площите на квадрати, изградени върху краката на правоъгълен триъгълник

1.6 Еквивалентност на триъгълници. Теорема на Болай-Жервин

1.7 Съотношение на площите на подобни триъгълници

1.8 Фигури с най-голяма площ

1.8.1 Трапец или правоъгълник

1.8.2 Забележително свойство на квадрат

1.8.3 Парцели с различна форма

1.8.4 Триъгълник с най-голяма площ

Глава 2. Методически особености на изучаването на площите на многоъгълниците в часовете по математика

2.1 Тематично планиране и характеристики на обучението в класове със задълбочено изучаване на математика

2.2 Методика на урока

2.3 Резултати от експерименталната работа

Заключение

Литература

Въведение

Темата "Площ на многоъгълници" е неразделна част от училищния курс по математика, което е съвсем естествено. И наистина, исторически самото възникване на геометрията е свързано с необходимостта от сравняване на земни парцели от една или друга форма. В същото време трябва да се отбележи, че образователните възможности за разкриване на тази тема в средното училище далеч не се използват напълно.

Основната задача на обучението по математика в училище е да осигури силно и съзнателно овладяване на системата от математически знания и умения, необходими на всеки член на съвременното общество в ежедневието и работата, достатъчни за изучаване на свързани дисциплини и продължаване на образованието.

Наред с решаването на основната задача, задълбоченото изучаване на математиката осигурява формирането на постоянен интерес към предмета у учениците, идентифицирането и развитието на техните математически способности, ориентация към професии, които са значително свързани с математиката, и подготовка за обучение в университет.

Квалификационната работа включва съдържанието на курса по математика на общообразователно училище и редица допълнителни въпроси, които са непосредствено свързани с този курс и го задълбочават по основните идеологически линии.

Включването на допълнителни въпроси служи на две взаимно свързани цели. От една страна, това е създаването, във връзка с основните раздели на курса, на база за задоволяване на интересите и развиване на способностите на учениците със склонност към математиката, от друга страна, запълването на значими пропуски в основното ястие, придаващо на съдържанието на задълбочено изучаване необходимата цялост.

Квалификационната работа се състои от въведение, две глави, заключение и цитирана литература. Първата глава разглежда теоретичните основи на изследването на площите на полигоните, а втората глава се занимава директно с методическите особености на изследването на площите.

Глава 1

1.1 Изчисляване на площите в древността

Рудиментите на геометричните знания, свързани с измерването на площи, се губят в дълбините на хилядолетията.

Още преди 4-5 хиляди години вавилонците са успели да определят площта на правоъгълник и трапец в квадратни единици. Квадратът отдавна е служил като стандарт за измерване на площи поради много от неговите забележителни свойства: равни страни, равни и прави ъгли, симетрия и общо съвършенство на формата. Квадратите са лесни за изграждане или можете да запълните равнина без празнини.

В древен Китай мярката за площ е била правоъгълник. Когато зидарите определят площта на правоъгълна стена на къща, те умножават височината и ширината на стената. Това е приетата дефиниция в геометрията: площта на правоъгълник е равна на произведението на съседните му страни. И двете страни трябва да бъдат изразени в едни и същи линейни единици. Техният продукт ще бъде площта на правоъгълника, изразена в съответните квадратни единици. Да кажем, че ако височината и ширината на стената се измерват в дециметри, тогава произведението от двете измервания ще бъде изразено в квадратни дециметри. И ако площта на всеки облицовъчен участък е квадратен дециметър, тогава полученият продукт ще покаже броя на плочките, необходими за облицовка. Това следва от твърдението, което е в основата на измерването на площите: площта на фигура, съставена от непресичащи се фигури, е равна на сумата от техните площи.

Древните египтяни преди 4000 години са използвали почти същите техники като нас за измерване на площта на правоъгълник, триъгълник и трапец: основата на триъгълника е разделена наполовина и умножена по височината; за трапец сборът от успоредните страни се разделя наполовина и се умножава по височината и т.н. За изчисляване на площта

четириъгълник със страни (фиг. 1.1), беше приложена формулата (1.1).

тези. полусумите на противоположните страни бяха умножени.

Тази формула очевидно е неправилна за всеки четириъгълник; от нея следва по-специално, че площите на всички ромби са еднакви. Междувременно е очевидно, че площите на такива ромби зависят от големината на ъглите при върховете. Тази формула е валидна само за правоъгълник. С негова помощ можете приблизително да изчислите площта на четириъгълниците, в които ъглите са близки до прави.

За определяне на площта

равнобедрен триъгълник (фиг. 1.2), в който египтяните са използвали приблизителната формула:
(1.2) Фиг. 1.2 Грешката, направена в този случай, е толкова по-малка, колкото по-малка е разликата между страната и височината на триъгълника, с други думи, колкото по-близо е върха (и) до основата на височината от. Ето защо приблизителната формула (1.2) е приложима само за триъгълници с относително малък ъгъл на върха.

Но още древните гърци са знаели как правилно да намират площите на многоъгълниците. В своите Елементи Евклид не използва думата "площ", тъй като под самата дума "фигура" той разбира част от равнина, ограничена от една или друга затворена линия. Евклид не изразява резултата от измерването на площта като число, а сравнява площите на различни фигури една с друга.

Подобно на други учени от древността, Евклид се занимава с превръщането на едни фигури в други, те са равни по размер. Площта на съставна фигура няма да се промени, ако нейните части са подредени по различен начин, но без пресичане. Следователно, например, е възможно въз основа на формулите за площта на правоъгълник да се намерят формулите за площите на други фигури. И така, триъгълникът е разделен на такива части, от които след това можете да направите правоъгълник с равна площ на него. От тази конструкция следва, че площта на триъгълника е равна на половината от произведението на неговата основа и височина. Прибягвайки до такова преначертаване, те откриват, че площта на успоредника е равна на произведението на основата и височината, площта на трапеца е произведение на половината от сбора на основите и височината.

Когато зидарите трябва да облицоват стена със сложна конфигурация, те могат да определят площта на стената, като преброят броя на плочките, които са влезли в облицовката. Някои плочки, разбира се, ще трябва да бъдат нарязани, така че ръбовете на облицовката да съвпадат с ръба на стената. Броят на всички плочки, които са влезли в работа, оценява площта на стената с излишък, броят на неразбитите плочки - с недостатък. С намаляването на размера на клетките количеството на отпадъците намалява и площта на стената, определена от броя на плочките, се изчислява все по-точно.

Един от късните гръцки математици - енциклопедисти, чиито трудове са предимно приложни в природата, е Херон от Александрия, живял през 1 век. н. д. Като изключителен инженер, той също е наричан "Чапла Механикът". В своя труд "Диоптрика" Херон описва различни машини и практически измервателни уреди.

Една от книгите на Херон е наречена от него „Геометрия” и е своеобразен сборник от формули и съответни задачи. Съдържа примери за изчисляване на площите на квадрати, правоъгълници и триъгълници. Heron пише за намирането на площта на триъгълник по неговите страни: „Нека, например, едната страна на триъгълник има дължина от 13 измерени шнура, втората 14 и третата 15. За да намерите площта, направете следното . Добавете 13, 14 и 15; получавате 42. Половината от това е 21. Извадете от това трите страни една по една; първо извадете 13 - остава 8, след това 14 - остава 7 и накрая 15 - остава 6. Сега ги умножете: 21 по 8 ще даде 168, вземете това 7 пъти - получавате 1176 и това още 6 пъти - вие вземете 7056. От тук квадратният корен ще бъде 84. Това е колко измервателни корди ще има в областта на триъгълника.