• edukacyjne: naucz uczniów znajdowania obszaru wielokąta za pomocą wybranych przez siebie metod, formowania wstępnych reprezentacji
• umiejętności wielokątne, graficzne i pomiarowe;
• opracowanie: opracowanie metod aktywności umysłowej uczniów podczas wykonywania zadań od obserwacji, obliczeń do wyjaśniania wzorców obliczania powierzchni wielokąta;
• edukowanie: ujawnianie subiektywnych doświadczeń uczniów, zachęcanie do działania, aspiracji uczniów jako podstawa wychowania pozytywnych cech osobowości;
• metodyczne: tworzenie warunków do przejawiania się aktywności poznawczej uczniów.

Wyposażenie lekcji:

1. Projekt tablicy: po lewej - kształty wielokątów, po prawej - puste płótno tablicy do pisania na lekcji, pośrodku - prostokąt wielokąta.
2. Ulotka „Do badań”.
3. Narzędzia nauczyciela i uczniów (kreda, wskaźnik, linijka, arkusz badań, figurki, papier do rysowania, marker).

Metoda lekcji:

• O interakcji nauczyciela i uczniów - dialog-komunikacja;
• Zgodnie z metodą rozwiązywania problemów - wyszukiwanie częściowe;
• Zgodnie ze sposobem aktywności umysłowej - (SUD) trening rozwojowy.

Forma lekcji jest frontalna, w parach, indywidualna.

Rodzaj lekcji to lekcja opanowania nowej wiedzy, umiejętności i zdolności.

Struktura lekcji to stopniowe pogłębianie tematu, elastyczna, dialogiczna.

Podczas zajęć

Pozdrowienia.

Lekcja jest piękna i przynosi radość, gdy wspólnie myślimy i pracujemy. Dzisiaj rozważymy liczby, określimy ich nazwy, pomyślimy, poszukamy i znajdziemy rozwiązania. Życzymy sobie nawzajem udanej pracy.

Aktualizacja wiedzy.

Rozważ liczby (wielokąty na planszy).

Wszyscy są razem. Czemu? Jaka jest ich wspólna cecha? (Wielokąty).

Nazwij ten wielokąt (5-kąt, 6-kąt…)

Czy wiesz, jaka jest powierzchnia wielokąta?

Następnie pokaż na jednej z figur.

(Uogólnienie przez nauczyciela: obszar jest częścią płaszczyzny wewnątrz zamkniętej figury geometrycznej.)

W języku rosyjskim to słowo ma kilka znaczeń.

(Uczeń w słowniku wprowadza znaczenia.)

1. Część płaszczyzny wewnątrz zamkniętej figury geometrycznej.
2. Duża niezabudowana i płaska powierzchnia.
3. Miejsce na dowolny cel.

Jaka wartość jest używana w matematyce?

W matematyce używana jest pierwsza wartość.

(Na planszy jest postać).

Czy to wielokąt? TAk.

Nazwij kształt inaczej. Prostokąt.

Pokaż długość, szerokość.

Jak znaleźć obszar wielokąta?

Napisz wzór za pomocą liter i symboli.

Jeśli długość naszego prostokąta wynosi 20 cm, to szerokość wynosi 10 cm. Jaki jest obszar?

Powierzchnia 200 cm 2

Zastanów się, jak przymocować linijkę, aby figurka była podzielona na:

Czy widziałeś, z jakich części składa się figura? A teraz wręcz przeciwnie, zmontujemy całość w częściach.

(Części postaci leżą na biurkach. Dzieci układają z nich prostokąt).

Wyciągnij wnioski ze swoich obserwacji.

Całą figurę można podzielić na części oraz z części tworząc całość.

Domy oparte na trójkątach i czworokątach były figurami, sylwetkami. Oto, czym się okazały.

(Pokaz rysunków wykonanych przez uczniów w domu. Jedna z prac jest analizowana).

Jakich liczb użyłeś? Masz złożony wielokąt.

Zestawienie zadania edukacyjnego.

Na lekcji musimy odpowiedzieć sobie na pytanie: jak znaleźć obszar wielokąta złożonego?

Dlaczego dana osoba musi znaleźć teren?

(Odpowiedzi dzieci i uogólnienie przez nauczyciela).

Zadanie wyznaczenia obszaru wynikało z praktyki.

(Pokazano plan terenu szkoły.)

Aby zbudować szkołę, najpierw stworzyli plan. Następnie terytorium podzielono na sekcje określonego obszaru, budynki, klomby, ustawiono stadion. W tym przypadku witryna ma określony kształt - kształt wielokąta.

Rozwiązanie problemu edukacyjnego.

(Wzory są rozdawane do badań.)

Przed tobą jest postać. Nazwij ją.

Wielokąt, sześciokąt.

Znajdź obszar wielokąta. Co należy w tym celu zrobić?

Podziel na prostokąty.

(W przypadku trudności pojawi się kolejne pytanie: „Z jakich kształtów składa się wielokąt?”).

Z dwóch prostokątów.

Podziel kształt na prostokąty za pomocą linijki i ołówka. Wyznacz numery 1 i 2 otrzymane części.

Zróbmy pomiary.

Znajdź obszar pierwszej figury.

(Uczniowie proponują następujące rozwiązania i zapisują je na tablicy.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Znając obszar części, jak znaleźć obszar całej figury?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Porównaj wyniki i wyciągnij wnioski.

Podążajmy za naszymi krokami

Jak znajduje się obszar wielokąta?

Algorytm jest kompilowany i napisany na plakacie:?

1. Podziel figurę na części

2. Znajdź obszary części tych wielokątów (S 1, S 2).

3. Znajdź obszar całego wielokąta (S 1 + S 2).

Wypowiedz algorytm.

(Kilku uczniów wymawia algorytm).

Znaleźliśmy dwa sposoby, a może jest ich więcej?

I możesz dokończyć figurę.

Ile masz prostokątów?

Wyznaczmy części 1 i 2. Zróbmy pomiary.

Znajdź obszar każdej części wielokąta.

• S1=6? 5=30cm 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Jak znaleźć obszar naszego sześciokąta?

S \u003d 30-15 \u003d 15 cm 2

Stwórzmy algorytm:

Dokończ figurę do prostokąta

Znaleziono S 1 i S 2 .

Znaleźliśmy różnicę S 1 - S 2.

Porównaj dwa algorytmy. Wyciągnij wniosek. Jakie działania są takie same? Gdzie różniły się nasze działania?

Zamknij oczy, opuść głowy. Powtórz w myślach algorytm.

Zrobiliśmy prace badawcze, rozważyliśmy różne metody i teraz możemy znaleźć obszar dowolnego wielokąta.

Kontrola wydajności.

Sprawdź się.

Oto wielokąty.

Znajdź obszar jednej wybranej figury, podczas gdy możesz użyć różnych metod.

Praca jest wykonywana niezależnie. Dzieci wybierają figurkę. Znajdź teren na jeden ze sposobów. Weryfikacja to klucz na tablicy.

Co można powiedzieć o formularzu? (Formularz inny)

Jaka jest powierzchnia tych wielokątów? (Powierzchnie tych wielokątów są równe)

Oceń wyniki.

Kto ma rację - wstaw "+".

Kto ma wątpliwości, trudności - „?”

Konsultanci służą pomocą chłopakom, szukają błędów, pomagają je poprawić.

Praca domowa:

Skomponuj swoje arkusze badawcze, oblicz obszar wielokąta na różne sposoby.

Podsumowanie lekcji.

A więc, chłopaki, co powiesz rodzicom o tym, jak znaleźć obszar figury geometrycznej - wielokąta.

Jednostki odległości i długości Przelicznik jednostek powierzchni Przelicznik Dołącz © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Kopiowanie materiałów jest zabronione. W kalkulatorze online możesz używać wartości w tych samych jednostkach miary! Jeśli masz problemy z konwersją jednostek miary, użyj konwertera jednostek odległości i długości oraz konwertera jednostek powierzchni. Dodatkowe funkcje kalkulatora powierzchni czworokątnej

• Możesz poruszać się między polami wprowadzania, naciskając prawy i lewy klawisz na klawiaturze.

Teoria. Obszar czworoboku Czworokąt to figura geometryczna składająca się z czterech punktów (wierzchołków), z których żadne trzy nie leżą na tej samej linii prostej, oraz czterech segmentów (boków) łączących te punkty parami. Czworokąt nazywamy wypukłym, jeśli odcinek łączący dowolne dwa punkty tego czworokąta będzie się w nim znajdował.

Jak znaleźć obszar wielokąta?

Wzór na określenie obszaru określa się, biorąc każdą krawędź wielokąta AB i obliczając obszar trójkąta ABO z wierzchołkiem na początku O, poprzez współrzędne wierzchołków. Podczas chodzenia wokół wielokąta powstają trójkąty, w tym wewnątrz wielokąta i znajdujące się poza nim. Różnica między sumą tych obszarów to powierzchnia samego wielokąta.

Dlatego formuła nazywana jest formułą geodety, ponieważ „kartograf” jest u źródeł; jeśli porusza się po obszarze w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, obszar jest dodawany, jeśli jest po lewej stronie i odejmowany, jeśli jest po prawej stronie pod względem początku. Wzór powierzchni obowiązuje dla dowolnego nieprzecinającego się (prostego) wielokąta, który może być wypukły lub wklęsły. Zawartość

• 1 Definicja
• 2 przykłady
• 3 Bardziej złożony przykład
• 4 Wyjaśnienie nazwy
• 5 Zobacz

Obszar wielokąta

Uwaga

Mogłoby być:

• trójkąt;
• czworoboczny;
• pięć lub sześciokąt i tak dalej.

Taką figurę z pewnością będą charakteryzować dwie pozycje:

1. Sąsiednie boki nie należą do tej samej linii.
2. Niesąsiadujące nie mają punktów wspólnych, to znaczy nie przecinają się.

Aby zrozumieć, które wierzchołki sąsiadują, musisz sprawdzić, czy należą do tej samej strony. Jeśli tak, to sąsiednie. W przeciwnym razie można je połączyć segmentem, który należy nazwać przekątną. Można je rysować tylko w wielokątach, które mają więcej niż trzy wierzchołki.

Jakie ich rodzaje istnieją? Wielokąt z więcej niż czterema rogami może być wypukły lub wklęsły. Różnica w tym ostatnim polega na tym, że niektóre z jego wierzchołków mogą leżeć po różnych stronach linii prostej poprowadzonej przez dowolny bok wielokąta.

Jak znaleźć obszar sześciokąta foremnego i nieregularnego?

• Znając długość boku, pomnóż go przez 6 i uzyskaj obwód sześciokąta: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Zastąp wyniki w naszym wzorze:
Powierzchnia \u003d 1/2 * obwód * apothema Powierzchnia \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Rozwiąż: Teraz pozostaje uprościć odpowiedź, aby pozbyć się pierwiastków kwadratowych i wskazać wynik w centymetrach kwadratowych: ½ * 60 cm * 5 √3 cm = 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Film o tym, jak znaleźć obszar sześciokąta foremnego Istnieje kilka opcji określania obszaru nieregularnego sześciokąta:

• metoda trapezowa.
• Metoda obliczania powierzchni nieregularnych wielokątów za pomocą osi współrzędnych.
• Metoda dzielenia sześciokąta na inne kształty.

W zależności od początkowych danych, które znasz, wybierana jest odpowiednia metoda.

Ważny

Niektóre nieregularne sześciokąty składają się z dwóch równoległoboków. Aby określić obszar równoległoboku, pomnóż jego długość przez jego szerokość, a następnie dodaj dwa znane już obszary. Film o tym, jak znaleźć obszar wielokąta Sześciokąt równoboczny ma sześć równych boków i jest sześciokątem foremnym.

Powierzchnia sześciokąta równobocznego jest równa 6 obszarom trójkątów, na które podzielona jest regularna figura sześciokątna. Wszystkie trójkąty w sześciokącie foremnym są równe, więc aby znaleźć pole takiego sześciokąta, wystarczy znać pole co najmniej jednego trójkąta. Aby znaleźć pole sześciokąta równobocznego, stosuje się oczywiście wzór na pole sześciokąta foremnego, opisany powyżej.

404 Nie Znaleziono

Dekorowanie domu, ubieranie, rysowanie obrazów przyczyniły się do procesu formowania i gromadzenia informacji z dziedziny geometrii, które ówcześni ludzie pozyskiwali empirycznie, kawałek po kawałku i przekazywali z pokolenia na pokolenie. Dziś znajomość geometrii jest niezbędna w życiu codziennym wycinaczowi, budowniczemu, architektowi i każdemu zwykłemu człowiekowi. Dlatego musisz nauczyć się obliczać obszar różnych figur i pamiętać, że każda z formuł może być później przydatna w praktyce, w tym wzór na sześciokąt foremny.
Sześciokąt to taka figura wielokątna, której łączna liczba kątów wynosi sześć. Sześciokąt foremny to sześciokątna figura o równych bokach. Kąty sześciokąta foremnego również są sobie równe.
W życiu codziennym często możemy spotkać przedmioty, które mają kształt foremnego sześciokąta.

Kalkulator nieregularnego obszaru wielokąta po bokach

Będziesz potrzebować

• - ruletka;
• — dalmierz elektroniczny;
• - kartka papieru i ołówek;
• - kalkulator.

Instrukcja 1 Jeśli potrzebujesz całkowitej powierzchni mieszkania lub oddzielnego pokoju, po prostu przeczytaj paszport techniczny mieszkania lub domu, pokazuje on materiał filmowy z każdego pokoju i całkowity materiał z mieszkania. 2 Aby zmierzyć powierzchnię prostokątnego lub kwadratowego pokoju, weź taśmę mierniczą lub dalmierz elektroniczny i zmierz długość ścian. Podczas pomiaru odległości za pomocą dalmierza pamiętaj, aby kierunek wiązki był prostopadły, w przeciwnym razie wyniki pomiarów mogą być zniekształcone. 3 Następnie pomnóż uzyskaną długość (w metrach) pomieszczenia przez szerokość (w metrach). Wynikowa wartość będzie powierzchnią podłogi, mierzoną w metrach kwadratowych.

Wzór na obszar Gaussa

Jeśli potrzebujesz obliczyć powierzchnię podłogi bardziej złożonej konstrukcji, takiej jak pokój pięciokątny lub pokój z okrągłym łukiem, narysuj schematyczny szkic na kartce papieru. Następnie podziel złożony kształt na kilka prostych, takich jak kwadrat i trójkąt lub prostokąt i półokrąg. Użyj taśmy mierniczej lub dalmierza, aby zmierzyć rozmiar wszystkich boków otrzymanych figur (w przypadku okręgu musisz znać średnicę) i wprowadź wyniki na swój rysunek.

5 Teraz oblicz obszar każdego kształtu osobno. Powierzchnię prostokątów i kwadratów oblicza się mnożąc boki. Aby obliczyć powierzchnię koła, podziel średnicę na pół i kwadrat (pomnóż ją przez siebie), a następnie pomnóż wynik przez 3,14.
Jeśli chcesz tylko połowę okręgu, podziel wynikowy obszar na pół. Aby obliczyć obszar trójkąta, znajdź P, dzieląc sumę wszystkich boków przez 2.

Wzór do obliczania powierzchni nieregularnego wielokąta

Jeśli punkty są numerowane kolejno w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to wyznaczniki w powyższym wzorze są dodatnie i moduł w nim można pominąć; jeśli są ponumerowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wyznaczniki będą ujemne. Dzieje się tak dlatego, że formuła może być postrzegana jako szczególny przypadek twierdzenia Greena. Aby zastosować wzór, musisz znać współrzędne wierzchołków wielokąta na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Na przykład weźmy trójkąt o współrzędnych ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Weź pierwszą współrzędną x pierwszego wierzchołka i pomnóż ją przez współrzędną y drugiego wierzchołka, a następnie pomnóż współrzędną x drugiego wierzchołka przez współrzędną y trzeciego. Powtarzamy tę procedurę dla wszystkich wierzchołków. Wynik można określić za pomocą następującego wzoru: A tri.

Wzór na obliczenie powierzchni nieregularnego czworoboku

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) gdzie xi i yi oznaczają odpowiednią współrzędną. Ten wzór można uzyskać, otwierając nawiasy w ogólnym wzorze dla przypadku n = 3. Korzystając z tego wzoru, można stwierdzić, że powierzchnia trójkąta jest równa połowie sumy 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, co daje 3. Liczba zmiennych we wzorze zależy od liczby boków wielokąta. Na przykład wzór na pole pięciokąta będzie wykorzystywał zmienne do x5 i y5: Pentagon. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \ponad 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A dla czwórki - zmienne do x4 i y4: Czwórka.

• edukacyjne: naucz uczniów znajdowania obszaru wielokąta za pomocą wybranych przez siebie metod, formowania wstępnych reprezentacji
• umiejętności wielokątne, graficzne i pomiarowe;
• opracowanie: opracowanie metod aktywności umysłowej uczniów podczas wykonywania zadań od obserwacji, obliczeń do wyjaśniania wzorców obliczania powierzchni wielokąta;
• edukowanie: ujawnianie subiektywnych doświadczeń uczniów, zachęcanie do działania, aspiracji uczniów jako podstawa wychowania pozytywnych cech osobowości;
• metodyczne: tworzenie warunków do przejawiania się aktywności poznawczej uczniów.

Wyposażenie lekcji:

1. Projekt tablicy: po lewej - kształty wielokątów, po prawej - puste płótno tablicy do pisania na lekcji, pośrodku - prostokąt wielokąta.
2. Ulotka „Do badań”.
3. Narzędzia nauczyciela i uczniów (kreda, wskaźnik, linijka, arkusz badań, figurki, papier do rysowania, marker).

Metoda lekcji:

• O interakcji nauczyciela i uczniów - dialog-komunikacja;
• Zgodnie z metodą rozwiązywania problemów - wyszukiwanie częściowe;
• Zgodnie ze sposobem aktywności umysłowej - (SUD) trening rozwojowy.

Forma lekcji jest frontalna, w parach, indywidualna.

Rodzaj lekcji to lekcja opanowania nowej wiedzy, umiejętności i zdolności.

Struktura lekcji to stopniowe pogłębianie tematu, elastyczna, dialogiczna.

Podczas zajęć

Pozdrowienia.

Lekcja jest piękna i przynosi radość, gdy wspólnie myślimy i pracujemy. Dzisiaj rozważymy liczby, określimy ich nazwy, pomyślimy, poszukamy i znajdziemy rozwiązania. Życzymy sobie nawzajem udanej pracy.

Aktualizacja wiedzy.

Rozważ liczby (wielokąty na planszy).

Wszyscy są razem. Czemu? Jaka jest ich wspólna cecha? (Wielokąty).

Nazwij ten wielokąt (5-kąt, 6-kąt…)

Czy wiesz, jaka jest powierzchnia wielokąta?

Następnie pokaż na jednej z figur.

(Uogólnienie przez nauczyciela: obszar jest częścią płaszczyzny wewnątrz zamkniętej figury geometrycznej.)

W języku rosyjskim to słowo ma kilka znaczeń.

(Uczeń w słowniku wprowadza znaczenia.)

1. Część płaszczyzny wewnątrz zamkniętej figury geometrycznej.
2. Duża niezabudowana i płaska powierzchnia.
3. Miejsce na dowolny cel.

Jaka wartość jest używana w matematyce?

W matematyce używana jest pierwsza wartość.

(Na planszy jest postać).

Czy to wielokąt? TAk.

Nazwij kształt inaczej. Prostokąt.

Pokaż długość, szerokość.

Jak znaleźć obszar wielokąta?

Napisz wzór za pomocą liter i symboli.

Jeśli długość naszego prostokąta wynosi 20 cm, to szerokość wynosi 10 cm. Jaki jest obszar?

Powierzchnia 200 cm 2

Zastanów się, jak przymocować linijkę, aby figurka była podzielona na:

Czy widziałeś, z jakich części składa się figura? A teraz wręcz przeciwnie, zmontujemy całość w częściach.

(Części postaci leżą na biurkach. Dzieci układają z nich prostokąt).

Wyciągnij wnioski ze swoich obserwacji.

Całą figurę można podzielić na części oraz z części tworząc całość.

Domy oparte na trójkątach i czworokątach były figurami, sylwetkami. Oto, czym się okazały.

(Pokaz rysunków wykonanych przez uczniów w domu. Jedna z prac jest analizowana).

Jakich liczb użyłeś? Masz złożony wielokąt.

Zestawienie zadania edukacyjnego.

Na lekcji musimy odpowiedzieć sobie na pytanie: jak znaleźć obszar wielokąta złożonego?

Dlaczego dana osoba musi znaleźć teren?

(Odpowiedzi dzieci i uogólnienie przez nauczyciela).

Zadanie wyznaczenia obszaru wynikało z praktyki.

(Pokazano plan terenu szkoły.)

Aby zbudować szkołę, najpierw stworzyli plan. Następnie terytorium podzielono na sekcje określonego obszaru, budynki, klomby, ustawiono stadion. W tym przypadku witryna ma określony kształt - kształt wielokąta.

Rozwiązanie problemu edukacyjnego.

(Wzory są rozdawane do badań.)

Przed tobą jest postać. Nazwij ją.

Wielokąt, sześciokąt.

Znajdź obszar wielokąta. Co należy w tym celu zrobić?

Podziel na prostokąty.

(W przypadku trudności pojawi się kolejne pytanie: „Z jakich kształtów składa się wielokąt?”).

Z dwóch prostokątów.

Podziel kształt na prostokąty za pomocą linijki i ołówka. Wyznacz numery 1 i 2 otrzymane części.

Zróbmy pomiary.

Znajdź obszar pierwszej figury.

(Uczniowie proponują następujące rozwiązania i zapisują je na tablicy.)

• S 1 \u003d 5? 2 \u003d 10 cm 2
• S 2 \u003d 5? 1 \u003d 5 cm 2

Znając obszar części, jak znaleźć obszar całej figury?

S \u003d 10 + 5 \u003d 15 cm 2

• S 1 \u003d 6? 2 \u003d 12 cm 2
• S 2 \u003d 3? 1 \u003d 3 cm 2
• S \u003d 12 + 3 \u003d 15 cm 2.

Porównaj wyniki i wyciągnij wnioski.

Podążajmy za naszymi krokami

Jak znajduje się obszar wielokąta?

Algorytm jest kompilowany i napisany na plakacie:?

1. Podziel figurę na części

2. Znajdź obszary części tych wielokątów (S 1, S 2).

3. Znajdź obszar całego wielokąta (S 1 + S 2).

Wypowiedz algorytm.

(Kilku uczniów wymawia algorytm).

Znaleźliśmy dwa sposoby, a może jest ich więcej?

I możesz dokończyć figurę.

Ile masz prostokątów?

Wyznaczmy części 1 i 2. Zróbmy pomiary.

Znajdź obszar każdej części wielokąta.

• S1=6? 5=30cm 2
• S 2 \u003d 5? 3 \u003d 15 cm 2

Jak znaleźć obszar naszego sześciokąta?

S \u003d 30-15 \u003d 15 cm 2

Stwórzmy algorytm:

Dokończ figurę do prostokąta

Znaleziono S 1 i S 2 .

Znaleźliśmy różnicę S 1 - S 2.

Porównaj dwa algorytmy. Wyciągnij wniosek. Jakie działania są takie same? Gdzie różniły się nasze działania?

Zamknij oczy, opuść głowy. Powtórz w myślach algorytm.

Zrobiliśmy prace badawcze, rozważyliśmy różne metody i teraz możemy znaleźć obszar dowolnego wielokąta.

Kontrola wydajności.

Sprawdź się.

Oto wielokąty.

Znajdź obszar jednej wybranej figury, podczas gdy możesz użyć różnych metod.

Praca jest wykonywana niezależnie. Dzieci wybierają figurkę. Znajdź teren na jeden ze sposobów. Weryfikacja to klucz na tablicy.

Co można powiedzieć o formularzu? (Formularz inny)

Jaka jest powierzchnia tych wielokątów? (Powierzchnie tych wielokątów są równe)

Oceń wyniki.

Kto ma rację - wstaw "+".

Kto ma wątpliwości, trudności - „?”

Konsultanci służą pomocą chłopakom, szukają błędów, pomagają je poprawić.

Praca domowa:

Skomponuj swoje arkusze badawcze, oblicz obszar wielokąta na różne sposoby.

Podsumowanie lekcji.

A więc, chłopaki, co powiesz rodzicom o tym, jak znaleźć obszar figury geometrycznej - wielokąta.

Lekcja z serii „ Algorytmy geometryczne»

Witam drogi czytelniku.

Rozwiązanie wielu problemów geometrii obliczeniowej opiera się na znalezieniu obszar wielokąta. W tej lekcji wyprowadzimy wzór do obliczania powierzchni wielokąta za pomocą współrzędnych jego wierzchołków i napiszemy funkcję obliczającą ten obszar.

Zadanie. Oblicz powierzchnię wielokąta, podane przez współrzędne jego wierzchołków, w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara.

Informacje z geometrii obliczeniowej

Aby wyprowadzić wzór na obszar wielokąta, potrzebujemy informacji z geometrii obliczeniowej, a mianowicie koncepcji zorientowanego obszaru trójkąta.

Zorientowany obszar trójkąta to zwykły obszar oznaczony znakiem. Zorientowany znak obszaru trójkąta ABC taki sam jak kąt zorientowany między wektorami i. Oznacza to, że jego znak zależy od kolejności wyliczania wierzchołków.

Na Ryż. 1 trójkąt ABC to trójkąt prostokątny. Jego obszar zorientowany jest (jest większy od zera, ponieważ para jest zorientowana dodatnio). Tę samą wartość można obliczyć w inny sposób.

Wynajmować O jest dowolnym punktem płaszczyzny. Na naszym rysunku pole trójkąta ABC otrzymujemy odejmując pola OAB i OCA od pola trójkąta OBC. Dlatego po prostu potrzebujesz dodaj zorientowane obszary trójkąty OAB, OBC i OCA. Ta zasada działa dla każdego wyboru punktu O.

Podobnie, aby obliczyć pole dowolnego wielokąta, należy dodać zorientowane obszary trójkątów

Suma będzie obszarem wielokąta, wziętym ze znakiem plus, jeśli wielokąt znajduje się po lewej stronie podczas obchodzenia wielokąta (z pominięciem granicy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara) i ze znakiem minus, jeśli jest po prawej stronie (z pominięciem zgodnie z ruchem wskazówek zegara ).

Tak więc obliczenie pola wielokąta zostało zredukowane do znalezienia pola trójkąta. Zobaczmy, jak wyrazić to we współrzędnych.

Iloczyn poprzeczny dwóch wektorów na płaszczyźnie to obszar równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Iloczyn wektorowy wyrażony jako współrzędne wektorów:

Jeśli współrzędne wierzchołków podano w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara, to liczba S, obliczone według tego wzoru będą dodatnie. W przeciwnym razie będzie ujemny i aby uzyskać zwykłą powierzchnię geometryczną, musimy przyjąć jej wartość bezwzględną.

Rozważ więc program do znajdowania obszaru wielokąta określonego przez współrzędne wierzchołków.

3. Jeżeli wielokąt składa się z kilku wielokątów, to jego pole jest równe sumie powierzchni tych wielokątów.

4. Pole kwadratu o boku \(a\) to \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Obszar prostokąta i równoległoboku)))\]

Twierdzenie: pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) to \(S=ab\) .

Dowód

Zbudujmy prostokąt \(ABCD\) do kwadratu o boku \(a+b\) , jak pokazano na rysunku:

Ten kwadrat składa się z prostokąta \(ABCD\) , innego równego mu prostokąta oraz dwóch kwadratów o bokach \(a\) i \(b\) . W ten sposób,

\(\begin(multline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multilinia*)\)

Definicja

Wysokość równoległoboku to prostopadła narysowana od wierzchołka równoległoboku do boku (lub przedłużenia boku), który nie zawiera tego wierzchołka.
Na przykład wysokość \(BK\) spada na bok \(AD\) , a wysokość \(BH\) spada na przedłużenie boku \(CD\) :

Twierdzenie: powierzchnia równoległoboku

Powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi wysokości i boku, do którego ta wysokość jest rysowana.

Dowód

Narysuj prostopadłe \(AB"\) i \(DC"\), jak pokazano na rysunku. Zauważ, że te prostopadłe są równe wysokości równoległoboku \(ABCD\) .

Wtedy \(AB"C"D\) jest prostokątem, stąd \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Zauważ, że trójkąty prostokątne \(ABB"\) i \(DCC"\) są równe. W ten sposób,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Duży(\text(Obszar trójkąta)))\]

Definicja

Stronę, do której narysowana jest wysokość w trójkącie, nazwiemy podstawą trójkąta.

Twierdzenie

Powierzchnia trójkąta jest połową iloczynu jego podstawy i wysokości narysowanej do tej podstawy.

Dowód

Niech \(S\) będzie polem trójkąta \(ABC\) . Weźmy bok \(AB\) jako podstawę trójkąta i narysujmy wysokość \(CH\) . Udowodnijmy, że \ Zbudujmy trójkąt \(ABC\) do równoległoboku \(ABDC\), jak pokazano na rysunku:

Trójkąty \(ABC\) i \(DCB\) są równe w trzech bokach (\(BC\) jest ich wspólnym bokiem, \(AB = CD\) i \(AC = BD\) jako przeciwległymi bokami równoległoboku \ (ABDC\ )), więc ich pola są równe. Dlatego pole \(S\) trójkąta \(ABC\) jest równe połowie powierzchni równoległoboku \(ABDC\) , tj. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Twierdzenie

Jeżeli dwa trójkąty \(\triangle ABC\) i \(\triangle A_1B_1C_1\) mają równe wysokości, to ich pola są odnoszone jako podstawy, do których te wysokości są narysowane.

Konsekwencja

Mediana trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równej powierzchni.

Twierdzenie

Jeżeli dwa trójkąty \(\triangle ABC\) i \(\triangle A_2B_2C_2\) mają ten sam kąt, to ich pola są powiązane jako iloczyny boków tworzących ten kąt.

Dowód

Niech \(\kąt A=\kąt A_2\) . Połączmy te narożniki, jak pokazano na rysunku (punkt \(A\) jest wyrównany z punktem \(A_2\)):

Narysuj wysokości \(BH\) i \(C_2K\) .

Trójkąty \(AB_2C_2\) i \(ABC_2\) mają tę samą wysokość \(C_2K\) , dlatego: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Trójkąty \(ABC_2\) i \(ABC\) mają tę samą wysokość \(BH\) , dlatego: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Mnożąc dwie ostatnie równości otrzymujemy: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( lub ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg:

Prawdą jest również odwrotność: jeśli w trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, to taki trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie

Obszar trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu nóg.

Twierdzenie: Wzór Herona

Niech \(p\) będzie półobwodem trójkąta, \(a\) , \(b\) , \(c\) będą długościami jego boków, wtedy jego pole będzie równe \

\[(\Large(\text(Obszar rombu i trapezu)))\]

Komentarz

Dlatego romb jest równoległobokiem, wtedy obowiązuje dla niego ta sama formuła, tj. Powierzchnia rombu jest równa iloczynowi wysokości i boku, do którego ta wysokość jest rysowana.

Twierdzenie

Powierzchnia wypukłego czworoboku, którego przekątne są prostopadłe, stanowi połowę iloczynu przekątnych.

Dowód

Rozważmy czworokąt \(ABCD\) . Oznacz \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Zauważ, że ten czworokąt składa się z czterech trójkątów prostokątnych, dlatego jego pole jest równe sumie pól tych trójkątów:

\(\begin(multline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multilinia*)\)

Następstwo: obszar rombu

Powierzchnia rombu to połowa iloczynu jego przekątnych:

Definicja

Wysokość trapezu to prostopadła poprowadzona od szczytu jednej podstawy do drugiej podstawy.

Twierdzenie: obszar trapezu

Powierzchnia trapezu to połowa sumy podstaw razy wysokość.

Dowód

Rozważmy trapez \(ABCD\) o podstawach \(BC\) i \(AD\) . Narysuj \(CD"\parallel AB\), jak pokazano na rysunku:

Wtedy \(ABCD"\) jest równoległobokiem.

Rysujemy również \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) to wysokości trapezu).

Następnie \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Dlatego trapez składa się z równoległoboku \(ABCD"\) i trójkąta \(CDD"\) , wówczas jego pole jest równe sumie pól równoległoboku i trójkąta, czyli:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Każdy, kto studiował matematykę i geometrię w szkole, zna te nauki przynajmniej powierzchownie. Ale z biegiem czasu, jeśli nie są praktykowane, wiedza zostaje zapomniana. Wielu uważa nawet, że po prostu zmarnowali czas na studiowanie obliczeń geometrycznych. Jednak są w błędzie. Pracownicy techniczni wykonują codzienną pracę związaną z obliczeniami geometrycznymi. Jeśli chodzi o obliczanie powierzchni wielokąta, wiedza ta znajduje również zastosowanie w życiu. Będą potrzebne przynajmniej do obliczenia powierzchni ziemi. Nauczmy się więc, jak znaleźć obszar wielokąta.

Definicja wielokąta

Najpierw zdefiniujmy, czym jest wielokąt. Jest to płaska figura geometryczna, która powstała w wyniku przecięcia trzech lub więcej linii. Inna prosta definicja: wielokąt to zamknięta polilinia. Oczywiście na przecięciu linii powstają punkty przecięcia, ich liczba jest równa liczbie linii tworzących wielokąt. Punkty przecięcia nazywane są wierzchołkami, a odcinki utworzone z linii prostych nazywane są bokami wielokąta. Sąsiednie segmenty wielokąta nie leżą na tej samej linii prostej. Odcinki linii, które nie sąsiadują ze sobą, to te, które nie przechodzą przez punkty wspólne.

Suma pól trójkątów

Jak znaleźć obszar wielokąta? Obszar wielokąta to wewnętrzna część płaszczyzny, która powstała na przecięciu segmentów lub boków wielokąta. Ponieważ wielokąt jest kombinacją kształtów takich jak trójkąt, romb, kwadrat, trapez, po prostu nie ma uniwersalnego wzoru na obliczenie jego powierzchni. W praktyce najbardziej uniwersalną metodą jest podział wielokąta na prostsze figury, których obszar nie jest trudny do znalezienia. Dodając sumy pól tych prostych figur otrzymujemy pole wielokąta.

Przez obszar koła

W większości przypadków wielokąt ma regularny kształt i tworzy figurę o równych bokach i kątach między nimi. Obliczenie pola w tym przypadku jest bardzo proste za pomocą koła wpisanego lub opisanego. Jeśli znana jest powierzchnia koła, należy ją pomnożyć przez obwód wielokąta, a następnie otrzymany iloczyn podzielony przez 2. W rezultacie otrzymuje się wzór na obliczenie powierzchni takiego wielokąta : S = ½∙P∙r., gdzie P jest polem okręgu, a r jest obwodem wielokąta .

Metoda dzielenia wielokąta na „wygodne” kształty jest najpopularniejsza w geometrii, pozwala szybko i poprawnie znaleźć obszar wielokąta. Czwarta klasa liceum zazwyczaj uczy się takich metod.

Powierzchnia, jedna z podstawowych wielkości związanych z kształtami geometrycznymi. W najprostszych przypadkach mierzy się ją liczbą jednostkowych kwadratów wypełniających płaską figurę, czyli kwadratów o boku równym jednej długości. Obliczenia P. były już w starożytności ... ...

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Obszar (znaczenia). Powierzchnia figury płaskiej jest addytywną cechą numeryczną figury należącej w całości do jednej płaszczyzny. W najprostszym przypadku, gdy figurę można podzielić na skończoną ... ... Wikipedia

I Pole to jedna z podstawowych wielkości związanych z kształtami geometrycznymi. W najprostszych przypadkach mierzy się ją liczbą jednostkowych kwadratów wypełniających płaską figurę, czyli kwadratów o boku równym jednej długości. Obliczanie P. ... ... Wielka radziecka encyklopedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Obszar (znaczenia). Powierzchnia Jednostka L² Jednostki SI m² ... Wikipedia

G. 1. Część powierzchni ziemi, przestrzeń naturalnie ograniczona lub specjalnie przeznaczona do jakiegoś celu. ott. Przestrzeń wodna. ott. Duże, płaskie miejsce, przestrzeń. 2. Płaska niezabudowana przestrzeń publiczna ... ... Współczesny słownik objaśniający języka rosyjskiego Efremova

Proponuje się usunięcie tego artykułu. Wyjaśnienie przyczyn i odpowiednią dyskusję można znaleźć na stronie Wikipedii: Do usunięcia / 2 września 2012 r. Chociaż proces dyskusji nie jest zakończony, artykuł można ulepszyć, ale należy ... ... Wikipedia

Dwie figury w R2 o równych polach i odpowiednio dwa wielokąty M1 i M2 tak, że można je pociąć na wielokąty tak, aby części tworzące M1 były odpowiednio przystające do części tworzących M2. ... ... Encyklopedia matematyczna

B=7, G=8, B + G/2 − 1= 10 Twierdzenie Picka jest klasycznym wynikiem geometrii kombinatorycznej i geometrii liczb. Obszar wielokąta z liczbą całkowitą ... Wikipedia

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Twierdzenie Picka. V = 7, Г = 8, В + Г/2 − 1 = 10 Wzór Picka (lub twierdzenie Picka) jest klasycznym wynikiem geometrii kombinatorycznej i geometrii liczb. Kwadrat ... Wikipedia

Dziedzina (zbiór otwarty spójny) na granicy ciała wypukłego w przestrzeni euklidesowej E 3. Cała granica ciała wypukłego jest nazywana. kompletne V. p. Jeśli ciało jest skończone, to kompletne V. p. Zamknięte. Jeśli ciało jest nieskończone, to pełne V.p. nieskończona... ... Encyklopedia matematyczna

Wielokąt to płaska lub wypukła figura, która składa się z przecinających się linii (więcej niż 3) i tworzy dużą liczbę punktów przecięcia linii. Inny wielokąt można zdefiniować jako przerywaną linię, która się zamyka. W inny sposób punkty przecięcia można nazwać wierzchołkami figury. W zależności od liczby wierzchołków figurę można nazwać pięciokątem, sześciokątem i tak dalej. Kąt wielokąta to kąt utworzony przez boki zbiegające się w jednym wierzchołku. Kąt znajduje się wewnątrz wielokąta. Co więcej, kąty mogą być różne, do 180 stopni. Istnieją również narożniki zewnętrzne, które zwykle sąsiadują z narożnikami wewnętrznymi.

Linie proste, które następnie przecinają się, nazywane są bokami wielokąta. Mogą być sąsiadujące, sąsiadujące lub nieprzylegające. Bardzo ważną cechą prezentowanej figury geometrycznej jest to, że jej niesąsiadujące boki nie przecinają się, a zatem nie mają wspólnych punktów. Przyległe boki figury nie mogą leżeć w tej samej linii prostej.

Te wierzchołki figury, które należą do tej samej linii, można nazwać sąsiednimi. Jeśli narysujesz linię pomiędzy dwoma wierzchołkami, które nie sąsiadują ze sobą, otrzymasz przekątną wielokąta. Jeśli chodzi o obszar figury, jest to wewnętrzna część płaszczyzny figury geometrycznej o dużej liczbie wierzchołków, którą tworzą oddzielające ją segmenty wielokąta.

Nie ma jednego rozwiązania do określenia obszaru przedstawionej figury geometrycznej, ponieważ może istnieć nieskończona liczba wariantów figury, a dla każdego wariantu istnieje własne rozwiązanie. Jednak nadal należy rozważyć niektóre z najczęstszych opcji znalezienia obszaru figury (są najczęściej stosowane w praktyce, a nawet są uwzględnione w szkolnym programie nauczania).

Przede wszystkim rozważ wielokąt foremny, czyli taką figurę, w której wszystkie kąty utworzone przez równe boki są również równe. Jak więc znaleźć obszar wielokąta na konkretnym przykładzie? W tym przypadku znalezienie obszaru figury wielokątnej jest możliwe, jeśli zostanie podany promień okręgu wpisanego w figurę lub opisanego wokół niego. Aby to zrobić, możesz użyć następującej formuły:

S = ½∙P∙r, gdzie r to promień okręgu (wpisanego lub opisanego), a P to obwód geometrycznej figury wielokątnej, który można znaleźć mnożąc liczbę boków figury przez ich długość.

Jak znaleźć obszar wielokąta?

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć obszar wielokąta, wystarczy postępować zgodnie z następującą interesującą właściwością figury wielokąta, którą kiedyś odkrył słynny austriacki matematyk Georg Pick. Na przykład za pomocą wzoru S = N + M/2 -1 można znaleźć obszar takiego wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w węzłach siatki kwadratowej. W tym przypadku S jest odpowiednio obszarem; N - liczba węzłów siatki kwadratowej, które znajdują się wewnątrz figury z wieloma narożnikami; M to liczba tych węzłów siatki kwadratowej, które znajdują się na wierzchołkach i bokach wielokąta. Jednak pomimo swojego piękna formuła Picka praktycznie nie jest stosowana w praktycznej geometrii.

Najprostszą i najbardziej znaną metodą wyznaczania obszaru, którą bada się w szkole, jest podział wielokątnej figury geometrycznej na prostsze części (trapezoidy, prostokąty, trójkąty). Znalezienie obszaru tych figur nie jest trudne. W tym przypadku obszar wielokąta jest określany po prostu: musisz znaleźć obszary wszystkich figur, na które podzielony jest wielokąt.

Zasadniczo definicja obszaru wielokąta jest określana w mechanice (wymiary części).

1.1 Obliczanie obszarów w starożytności

1.2 Różne podejścia do badania pojęć „obszar”, „wielokąt”, „obszar wielokąta”

1.2.1 Pojęcie obszaru. Właściwości obszaru

1.2.2 Pojęcie wielokąta

1.2.3 Pojęcie obszaru wielokąta. Opisowa definicja

1.3 Różne wzory na obszary wielokątów

1.4 Wyprowadzanie wzorów na pole wielokąta

1.4.1 Obszar trójkąta. Formuła Herona

1.4.2 Powierzchnia prostokąta

1.4.3 Powierzchnia trapezu

1.4.4 Powierzchnia czworoboku

1.4.5 Uniwersalna formuła

1.4.6 Powierzchnia n-gonu

1.4.7 Obliczanie powierzchni wielokąta ze współrzędnych jego wierzchołków

1.4.8 Wybierz formułę

1.5 Twierdzenie Pitagorasa o sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach trójkąta prostokątnego

1.6 Równoważność trójkątów. Twierdzenie Bogliaia-Gervina

1.7 Stosunek obszarów podobnych trójkątów

1.8 Figury o największej powierzchni

1.8.1 Trapez lub prostokąt

1.8.2 Niezwykła własność kwadratu

1.8.3 Działki o różnym kształcie

1.8.4 Trójkąt o największej powierzchni

Rozdział 2. Metodyczne cechy badania obszarów wielokątów na zajęciach matematycznych

2.1 Planowanie tematyczne i cechy nauczania w klasach z pogłębioną nauką matematyki

2.2 Metodologia lekcji

2.3 Wyniki prac eksperymentalnych

Wniosek

Literatura

Wstęp

Temat „Obszar wielokątów” jest integralną częścią szkolnego kursu matematyki, co jest całkiem naturalne. Rzeczywiście, historycznie samo pojawienie się geometrii wiąże się z potrzebą porównywania działek w takiej czy innej formie. Jednocześnie należy zauważyć, że możliwości edukacyjne ujawnienia tego tematu w szkole średniej są dalekie od pełnego wykorzystania.

Głównym zadaniem nauczania matematyki w szkole jest zapewnienie silnego i świadomego opanowania systemu wiedzy i umiejętności matematycznych niezbędnych każdemu członkowi współczesnego społeczeństwa w życiu codziennym i pracy, wystarczającego do studiowania pokrewnych dyscyplin i kontynuowania nauki.

Wraz z rozwiązaniem głównego zadania dogłębna nauka matematyki zapewnia kształtowanie stałego zainteresowania tematem u uczniów, identyfikację i rozwój ich zdolności matematycznych, orientację na zawody, które są w znacznym stopniu związane z matematyką, i przygotowanie do studiowania na uniwersytecie.

Praca kwalifikacyjna obejmuje treść kursu matematyki szkoły ogólnokształcącej oraz szereg pytań dodatkowych, które bezpośrednio z tym kursem sąsiadują i pogłębiają go w głównych nurtach ideologicznych.

Włączenie dodatkowych pytań służy dwóm powiązanym ze sobą celom. Z jednej strony jest to stworzenie, w połączeniu z głównymi sekcjami kursu, bazy do zaspokojenia zainteresowań i rozwijania umiejętności uczniów z zamiłowaniem do matematyki, z drugiej zaś wypełnienie znaczących luk w danie główne, nadając treści pogłębionej analizy niezbędną integralność.

Praca kwalifikacyjna składa się ze wstępu, dwóch rozdziałów, zakończenia oraz cytowanej literatury. W pierwszym rozdziale omówiono teoretyczne podstawy badania obszarów wielokątów, a drugi rozdział bezpośrednio dotyczy metodologicznych cech badania obszarów.

Rozdział 1

1.1 Obliczanie obszarów w starożytności

Podstawy wiedzy geometrycznej związane z pomiarem powierzchni giną w głębinach tysiącleci.

Już 4-5 tysięcy lat temu Babilończycy byli w stanie określić obszar prostokąta i trapezu w jednostkach kwadratowych. Kwadrat od dawna służył jako standard pomiaru powierzchni ze względu na wiele jego niezwykłych właściwości: równe boki, równe i proste kąty, symetrię i ogólną doskonałość formy. Kwadraty są łatwe do zbudowania lub możesz wypełnić płaszczyznę bez przerw.

W starożytnych Chinach miarą powierzchni był prostokąt. Kiedy murarze określali powierzchnię prostokątnej ściany domu, mnożyli wysokość i szerokość ściany. Jest to przyjęta definicja w geometrii: powierzchnia prostokąta jest równa iloczynowi jego sąsiednich boków. Obie te strony muszą być wyrażone w tych samych jednostkach liniowych. Ich iloczynem będzie powierzchnia prostokąta wyrażona w odpowiednich jednostkach kwadratowych. Załóżmy, że jeśli wysokość i szerokość ściany są mierzone w decymetrach, to iloczyn obu pomiarów będzie wyrażony w decymetrach kwadratowych. A jeśli powierzchnia każdej działki licowej jest decymetrem kwadratowym, wynikowy produkt wskaże liczbę płytek potrzebnych do licowania. Wynika to ze stwierdzenia leżącego u podstaw pomiaru powierzchni: pole figury składającej się z nieprzecinających się figur jest równe sumie ich pól.

Starożytni Egipcjanie 4000 lat temu stosowali prawie te same techniki, co my do mierzenia powierzchni prostokąta, trójkąta i trapezu: podstawa trójkąta została podzielona na pół i pomnożona przez wysokość; w przypadku trapezu suma boków równoległych została podzielona na pół i pomnożona przez wysokość i tak dalej. Aby obliczyć powierzchnię

czworokątny z bokami (rys. 1.1), zastosowano wzór (1.1)

tych. pomnożono półsumy przeciwnych stron.

Wzór ten jest oczywiście niepoprawny dla każdego czworoboku, wynika z niego w szczególności, że pola wszystkich rombów są takie same. Tymczasem oczywiste jest, że pola takich rombów zależą od wielkości kątów na wierzchołkach. Ta formuła dotyczy tylko prostokąta. Za jego pomocą możesz w przybliżeniu obliczyć obszar czworokątów, w których kąty są zbliżone do prawej.

Aby określić obszar

trójkąt równoramienny (ryc. 1.2), w którym Egipcjanie zastosowali przybliżony wzór:
(1.2) Rys. 1.2 Błąd popełniony w tym przypadku jest tym mniejszy, tym mniejsza różnica między bokiem a wysokością trójkąta, innymi słowy, im bliżej góry (i) podstawy wysokości od. Dlatego przybliżona formuła (1.2) ma zastosowanie tylko do trójkątów o stosunkowo małym kącie wierzchołkowym.

Ale już starożytni Grecy wiedzieli, jak poprawnie znaleźć obszary wielokątów. W swoich Elementach Euklides nie używa słowa „obszar”, ponieważ przez samo słowo „figura” rozumie część płaszczyzny ograniczonej jedną lub drugą zamkniętą linią. Euclid nie wyraża wyniku pomiaru obszaru jako liczby, ale porównuje ze sobą obszary różnych figur.

Podobnie jak inni naukowcy starożytności, Euklides zajmuje się przekształcaniem niektórych postaci w inne, są one równej wielkości. Powierzchnia figury złożonej nie zmieni się, jeśli jej części zostaną ułożone inaczej, ale bez przecinania się. Dlatego na przykład można na podstawie wzorów na obszar prostokąta znaleźć wzory na obszary innych figur. Tak więc trójkąt jest podzielony na takie części, z których można następnie zrobić z niego prostokąt o równej powierzchni. Z tej konstrukcji wynika, że ​​powierzchnia trójkąta jest równa połowie iloczynu jego podstawy i wysokości. Odwołując się do takiego przerysowania, stwierdzają, że powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi podstawy i wysokości, powierzchnia trapezu jest iloczynem połowy sumy podstaw i wysokości.

Kiedy murarze muszą ułożyć ścianę o złożonej konfiguracji, mogą określić powierzchnię ściany, licząc liczbę płytek, które zostały włożone do płytek. Niektóre płytki będą oczywiście musiały zostać rozdrobnione, aby krawędzie okładziny pokrywały się z krawędzią ściany. Liczba wszystkich płytek, które weszły do ​​pracy, ocenia powierzchnię ściany z nadmiarem, liczba płytek niełamanych - z wadą. Wraz ze zmniejszaniem się wielkości komórek zmniejsza się ilość odpadów, a powierzchnia ściany, określona przez liczbę płytek, jest coraz dokładniej obliczana.

Jednym z późnych greckich matematyków - encyklopedystów, których prace miały głównie zastosowanie w przyrodzie, był żyjący w I wieku Czapla z Aleksandrii. n. mi. Będąc wybitnym inżynierem, nazywany był także „Czaplą Mechanikiem”. W swojej pracy Dioptrics Heron opisuje różne maszyny i praktyczne przyrządy pomiarowe.

Jedna z książek Herona została nazwana przez niego „Geometrią” i jest rodzajem zbioru wzorów i odpowiadających im problemów. Zawiera przykłady obliczania pól kwadratów, prostokątów i trójkątów. Czapla pisze o znalezieniu obszaru trójkąta wzdłuż jego boków: „Niech na przykład jeden bok trójkąta ma długość 13 zmierzonych sznurów, drugi 14, a trzeci 15. Aby znaleźć obszar, wykonaj następujące czynności . Dodaj 13, 14 i 15; otrzymasz 42. Połowa z tego to 21. Odejmij od tych trzech stron jeden po drugim; najpierw odejmij 13 - pozostaje 8, potem 14 - pozostaje 7, a na końcu 15 - pozostaje 6. Teraz pomnóż je: 21 razy 8 da 168, weź to 7 razy - otrzymasz 1176, a to jeszcze 6 razy - ty zdobądź 7056. Stąd pierwiastek kwadratowy wyniesie 84. Tyle sznurów pomiarowych będzie w obszarze trójkąta.